Question

证明方程只有一个实根

Answer 1

证：
设函数f(x)=ln(1+x²)-x-1
x取任意实数，函数表达式恒有意义，函数定义域为R
f'(x)=[ln(1+x²)-x-1]'
=2x/(1+x²) -1
=(2x-1-x²)/(1+x²)
=-(x²-2x+1)/(1+x²)
=-(x-1)²/(1+x²)
1+x²恒>0，(x-1)²恒≥0，又-1<0
f'(x)≤0，函数在R上单调递减，至多有一个零点。
f(1)=ln1-1-1=0-2=-2<0
f(e)=ln(1+e²)-e-1>lne²-e-1=2e-e-1=e-1>0
函数在(1，e)上有零点，则此零点为f(x)的唯一零点。
方程ln(1+x²)=x+1有且仅有一个实根。