Question

求矩阵的特征值和特征向量。

Answer 1

|A| = 1 · 2 · 3 = 6

A* = |A|A^(-1) = 6A^(-1)

(A*)^2 + E = 36A^(-2) + E 的特征值分别是

36 · 1^2 + 1 = 37

36 / 2^2 + 1 = 10 

36 / 3^2 + 1 = 5 

最大特征值 37

简介

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

Answer 2

要求一个矩阵的特征值和特征向量，首先需要求出该矩阵的特征多项式和其根。具体步骤如下：
求出矩阵的特征多项式
设矩阵为 $A$，其特征多项式为 $f（\lambda） = |A-\lambda I|$，其中 $I$ 为单位矩阵，$|A-\lambda I|$ 表示 $A-\lambda I$ 的行列式。
求出特征多项式的根
将特征多项式 $f（\lambda）$ 设为 $0$，解出 $\lambda$ 的值，即为特征值。
求出每个特征值对应的特征向量
对于每个特征值 $\lambda$，求解方程组 $（A-\lambda I）x=0$，得到 $x$，即为该特征值对应的特征向量。
举个例子，假设有如下 $3\times 3$ 矩阵：
一个
=
(
1

2

2
2

1

2
2

2

1
)
一个=
⎝
⎛

1
2
2

2
1
2

2
2
1

⎠
⎞

我们来求解其特征值和特征向量。
求出矩阵的特征多项式
\begin{aligned}
f（\λ） &= |A - \lambda I|\\
&= \begin{vmatrix}
1-\lambda & 2 & 2 \\
2 & 1-\lambda & 2 \\
2 & 2 & 1-\lambda \\
\end{vmatrix} \\
&= （1-\lambda）\begin{vmatrix}
1-\lambda & 2 \\
2 & 1-\lambda \\
\end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix}
2 & 2 \\
2 & 1-\lambda \\
\end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix}
2 & 1-\lambda \\
2 & 2 \\
\end{vmatrix} \\
&= （1-\lambda）[（1-\lambda）^2 - 4] - 2[4-4（1-\lambda）] + 2[4（1-\lambda）-2（2）] \\
&= \lambda^3 - 3\lambda^2 - 6\lambda + 16 \\
\
求出特征多项式的根
解方程 $f（\lambda） = 0$，得到特征值：
\begin{aligned}
f（\lambda） &= \lambda
特征值为 $\lambda_1 = 4$，$\lambda_2 = (-1+\sqrt{17})/2$，$\lambda_3 = (-1-\sqrt{17})/2$。
求出每个特征值对应的特征向量
对于特征值 $\lambda_1 = 4$，解方程组 $(A-