Question

绝对收敛和条件收敛的关系是什么？

Answer 1

p<=1时发散，p>1是收敛，这是一个很著名的结论，要证明的话，就用柯西积分审敛法则

过程如下：

由于是非负递减序列,1/n(lnn)^p与∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx有相同的敛散性

∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx=∫[2->∞]lnx^(-p)d(lnx)=[1/(1-p)](lnx)^(1-p) | [2->∞]

=[1/(1-p)][(∞)^(1-p)-2^(1-p)]

其中关键项(∞)^(1-p)，当p>1时，为0，p<1时为∞,

即证得p>1收敛，p<1时发散。

当p=1时，1/nlnn与∫[2->∞]1/xlnxdx有相同的敛散性

∫[2->∞]1/xlnxdx=∫[2->∞]1/lnxd(lnx)=lnlnx | [2->∞] = lnln∞-lnln2发散

故∑1/nlnn发散

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。

绝对收敛

一般的级数u1+u2+...+un+...

它的各项为任意级数。

如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，

则称级数Σun绝对收敛

经济学中的收敛，分为绝对收敛和条件收敛

绝对收敛，指的是不论条件如何，穷国比富国收敛更快。

条件收敛，指的是技术给定其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快。