Question

证明f(g(x))的导数等于g(f(x))的导数？

Answer 1

要证明f(g(x))的导数等于g(f(x))的导数，我们可以使用链式法则。链式法则是微积分中用于计算复合函数导数的重要规则之一。
假设函数f(x)和g(x)都是可导的。我们要证明：
\[\frac{d}{dx}[f(g(x))] = \frac{d}{dx}[g(f(x))]\]
首先，我们将f(g(x))和g(f(x))视为两个复合函数。我们定义一个中间变量u = g(x)，即u是g(x)的函数。然后，我们定义另一个中间变量v = f(u)，即v是f(u)的函数。现在我们可以重新表示f(g(x))和g(f(x))：
f(g(x)) = v
g(f(x)) = u
现在我们可以分别计算v和u对x的导数：
\[\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad \text{(根据链式法则)}\]
\[\frac{du}{dx} = g'(x) \quad \text{(g(x)对x的导数)}\]
\[\frac{dv}{du} = f'(u) \quad \text{(f(u)对u的导数)}\]
将上述结果代入第一个方程，我们得到：
\[\frac{dv}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)\]
现在，我们注意到v = f(u) = f(g(x))，所以\(\frac{dv}{dx}\)实际上是\(\frac{d}{dx}[f(g(x))]\)。同样，u = g(x)，所以\(\frac{du}{dx}\)实际上是g(x)的导数。我们可以重新写出上面的结果：
\[\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]
这就证明了\(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = \frac{d}{dx}[g(f(x))]\)。因此，f(g(x))的导数等于g(f(x))的导数。
希望这能帮到你！如果你还有其他问题，请随时问。