Question

可逆矩阵的秩等于它的阶数

Answer 1

在线性代数中，可逆矩阵是指一个方阵可以通过矩阵乘法逆向计算出它的逆矩阵，也就是说，一个n×n的矩阵A是可逆矩阵，当且仅当其行列式不等于0。本文将介绍可逆矩阵的秩等于它的阶数这一定理。

首先，我们先来简单介绍矩阵的秩。矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也就是说，矩阵中最大的线性无关行的数量。一个矩阵的秩可以通过进行初等行变换，将矩阵化为行阶梯形矩阵，然后计算矩阵中非零行的个数来求得。

接下来，我们考虑一个n×n的可逆矩阵A。因为A是可逆矩阵，所以它的行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。我们可以通过矩阵的初等行变换，将A化为一个行阶梯形矩阵R，这个过程中保证了矩阵的秩不会改变。因此，矩阵R的秩就等于矩阵A的秩。

我们知道，行阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数。对于一个n×n的矩阵A，如果它是可逆矩阵，那么它的行阶梯形矩阵R的非零行的个数就等于它的阶数n，因为行阶梯形矩阵R的非零行一定是对角线上的1，而且阶数是n×n。

因此，可逆矩阵的秩等于它的阶数。这一结论也可以通过反证法来证明。假设一个n×n的可逆矩阵A的秩小于n，即rank(A) < n。根据矩阵的秩的定义，矩阵A的非零行的个数小于n，那么矩阵A的列空间的维数也小于n，即dim(Col(A)) < n。而矩阵A是可逆矩阵，那么它的列空间的维数等于它的阶数，即dim(Col(A)) = n，这是一个矛盾。因此，假设不成立，可逆矩阵的秩等于它的阶数。

总之，一个n×n的可逆矩阵的秩等于它的阶数，也就是说，它的非零行的个数等于它的阶数，这一结论对于矩阵论的研究具有重要的意义，在实际应用中也有着广泛的应用。