Question

为什么说函数在点x=0处取得极值

Answer 1

1、第一充分条件：

（1）如果x∈（x₀-δ，x₀），有f'（x）＞0；而x∈（x₀，x₀+δ），有f'（x）＜0，则f（x）在x₀处取得极大值。

（2）如果x∈（x₀-δ，x₀），有f'（x）＜0；而x∈（x₀，x₀+δ），有f'（x）＞0，则f（x）在x₀处取得极小值。

（3）如果当x∈（x₀-δ，x₀）及x∈（x₀，x₀+δ）时，f'（x）符号相同，则f（x）在x₀处无极值。

2、第二充分条件

设f（x）在x₀处具有二阶导数，且f'（x₀）=0，f''（x₀）≠0，那么当f''（x₀）＜0时，函数f（x）在x₀处取得极大值；当f''（x₀）＞0，函数f（x）在x₀处取得极小值。

注意事项：

极值的第一充分条件在使用的过程中，需要判断导函数在某个区间的符号，有些题目中不容易判断出导函数符号。极值的第二充分条件有一个地方没有讨论到，就是如果当二阶导数值也为0，该如何判断极值，这个由极值的第三充分条件补上。

第二充分条件这个定理强大的地方在于，不需要任何单调性的判断，只需要知道在x₀的一阶和二阶导数值就可以判定极值。即有局部性质就能判定极值。