Question

15.若 x>0 , y>0, 则 (x+3y)/(x^2+3y^2+4) 的最大值为 __？

Answer 1

将 (x+3y)/(x^2+3y^2+4) 视为关于 x, y 的函数 f(x, y)，可以使用求偏导数的方法求得其极值。具体地，设 f(x, y) 的偏导数为 0，则有：
∂f/∂x = (3y-x(x+3y)) / (x^2+3y^2+4)^2 = 0
∂f/∂y = (x-9y(x+3y)) / (x^2+3y^2+4)^2 = 0
化简可得：
x^2 + 3xy - 3y^2 = 0
3x^2 + 6xy - y^2 = 0
解得 x : y = 1 : 3
代入原式得到最大值为 f(1, 3) = (1+33)/(1^2+33^2+4) = 10/46 = 5/23。