Question

判断并证明fx=-1/x²-1在(1,+无穷)的单调性？

Answer 1

要判断函数f(x) = -1/x²-1在区间(1, +∞)上的单调性，首先我们需要找到这个函数的导数。

f'(x) = -d/dx(x^-2+1) = 2x^-3

我们可以观察到f'(x)大于零，说明函数在整个定义域上都是递增的。

接下来，我们可以选择任意的两个不同的数x1和x2，其中x1 > x2，然后比较f(x1)和f(x2)的大小。

f(x1) = -1/x1²-1，f(x2) = -1/x2²-1

我们可以发现，由于x1 > x2，所以1/x1² < 1/x2²，即-1/x1² > -1/x2²。又因为x1和x2都是正数，所以-1/x1²-1 > -1/x2²-1。

因此，f(x1) > f(x2)，即函数在区间(1, +∞)上是递减的。

综上所述，函数f(x) = -1/x²-1在区间(1, +∞)上是递减的。