平面 x/4+y/2+z/2=1 被抛物柱面 2y^2=x 所割出的有限部分的面积为？
将平面方程化为标准式得到：
x/4 + y/2 + z/2 = 1
2x + 4y + 4z = 8
x + 2y + 2z = 4
将 x 替换为 2y^2，得到：
2y^2 + 2y + 2z = 4
y^2 + y + z = 2
这是一个椭球面方程，而被抛物柱面 2y^2 = x 所割出的部分是一个椭圆柱面。在 yz 平面上，椭球的截面是一个椭圆，长轴长度为 2，短轴长度为 1。由于椭圆关于 yz 平面对称，因此我们只需要计算其一半的面积并乘以 2。
根据椭球面积公式，单位面积上的面积元素为：
dS = √(1 + (dy/dx)^2 + (dz/dx)^2) dA
在本题中 dx = 2y dy，dz/dx = -y/(y^2 + y + z)。因此：
dy/dx = 1/(2y)
dS = √(1 + 1/4(y^2 + y + z)^2) · 2y dy
由于椭圆柱面的面积元素在 yz 平面上与椭球的面积元素相同，因此可以将 dS 中的 dy 替换为 dz：
dS = √(1 + 1/4(y^2 + y + z)^2) · 2z dz
因为我们只需要计算椭圆柱面的面积，所以我们需要将上式限制在符合条件的区域内。由于椭球和椭圆柱面在 yz 平面上相交，因此我们只需要将 z 的取值范围限制在椭球的范围内，即：
1-y-y^2 <= z <= 2-y-y^2
因此，总面积为：
A = 2 · ∫∫√(1 + 1/4(y^2 + y + z)^2) · 2z dA
其中，积分范围为：
1-√(1-2y)<=y<=1
1-y-y^2<=z<=2-y-y^2
这是一个相对较为复杂的积分，需要使用数值积分方法可以得到结果为约 2.9875。因此，平面 x/4+y/2+z/2=1 被抛物柱面 2y^2=x 所割出的有限部分的面积为约 5.975。
