Question

已知函数f(x)=x3-ax2+(a+1)x+2在(2,3)单调递增,求a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=x³-ax²+(a+1)x+2在(2,3)单调递增,求a的取值范围
解：y'=3x²-2ax+a+1=3[x²-(2a/3)x+(a+1)/3]=3[(x-a/3)²-a²/9+(a+1)/3]
导函数y'是一个二次函数，要使f(x)在(2，3)内单调增，参数a必须满足以下条件：
(一). 当对称轴x=a/3≦2,即a≦6时有f '(2)=12-4a+a+1=13-3a≧0，即a≦13/3;
由此得此得a≦13/3;
(二).当对称轴x=a/3在区间(2，3)内，即2≦a/3≦3，即6≦a≦9时y'的最小值
-a²/9+(a+1)/3=(-a²+3a+3)/9≧0，即a²-3a-3≦0，此不等式在6≦a≦9的条件下无解。
(三).当对称轴x=a/3在区间(2，3)的右边，也就是a/3≧3，即a≧9时有f '(3)=28-5a≧0,
即a≦28/5.这与条件a≧9矛盾，故无此情况。
结论：a∈(-∞，13/3]就是a的取值范围。