Question

高中数学题（必修二）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。证明：
（1）PA‖平面EDB；
（2）PB⊥平面EFD。

Answer 1

(1)连接AC,交DB于O,则AC垂直平分DB,
连接OE,E为PC中点(已知)
所以OE//PA(三角形两边中点连线//第三边)
所以PA//平面EDB(线线//,则线面//)
(2)PD垂直ABCD(已知)
所以PD垂直BC,而BC垂直DC,所以BC垂直平面PDC
所以BC垂直PC
所以PC为PB在平面PDC上的射影
而DE垂直PC(等腰RT三角形斜边上的中线垂直斜边)
所以DE垂直PB(三垂线定理)
又EF垂直PB(已知)
所以PB垂直平面EFD(一条直线垂直平面上的两条相交直线,则垂直这平面)