大一微积分题求解。 5
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因为f'(x)=1/√(1-x^2)
根据题意，f'(ξ)=(arcsinb-arcsin0)/(b-0)=arcsinb/b
1/√(1-ξ^2)=arcsinb/b
√(1-ξ^2)=b/arcsinb
1-ξ^2=b^2/(arcsinb)^2
ξ^2=1-b^2/(arcsinb)^2
ξ=√[1-b^2/(arcsinb)^2]=√[(arcsinb)^2-b^2]/arcsinb
所以lim(b->0)ξ/b=lim(b->0)√[(arcsinb)^2-b^2]/(b*arcsinb)
=lim(b->0)√[(arcsinb+b)(arcsinb-b)]/b^2
=lim(b->0)√[(arcsinb+b)(b^3/6+o(b^4))]/b^2
=lim(b->0)√(arcsinb+b)/√(6b)
=lim(b->0)√(arcsinb/b+1)/6]
=√3/3
根据题意，f'(ξ)=(arcsinb-arcsin0)/(b-0)=arcsinb/b
1/√(1-ξ^2)=arcsinb/b
√(1-ξ^2)=b/arcsinb
1-ξ^2=b^2/(arcsinb)^2
ξ^2=1-b^2/(arcsinb)^2
ξ=√[1-b^2/(arcsinb)^2]=√[(arcsinb)^2-b^2]/arcsinb
所以lim(b->0)ξ/b=lim(b->0)√[(arcsinb)^2-b^2]/(b*arcsinb)
=lim(b->0)√[(arcsinb+b)(arcsinb-b)]/b^2
=lim(b->0)√[(arcsinb+b)(b^3/6+o(b^4))]/b^2
=lim(b->0)√(arcsinb+b)/√(6b)
=lim(b->0)√(arcsinb/b+1)/6]
=√3/3
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