Question

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（1）设定义域为R的奇函数f(x)是减函数，若0《 A《 TT/2， ，f(cos^2-2msinA)+f(3m-5)> 0，求m的取值范围

（2）设a属于（0，π/2),函数定义域为[0,1],且f(0）=0，f（1）=1，当x》y时， 有 f（（x+y)/2)=f(x)sina+(1-sina)f(y).

求f(1/2) f(1/4) 和a的值

Answer 1

1.
f(cos^2A-2msinaA)＞-f(3m-5)=f(5-3m)
所以只要cos^2A-2msinA＜5-3m即可
当m=0时：满足要求
当m＞0时：
当cos^2A-2msinA最大时，A=0，cos^2A-2msinA=1，故需令5-3m＞1，得m＜4/3
当m＜0时：
cos^2A-2msinA=-sin^2A-2msinA+1，对称轴x=-m＞0，极大值为m^2+1（当0≤-m≤1即-1≤m≤0时）或极大值为-2m（当m＜-1时）。则m^2+1＜5-3m且-1≤m≤0，或-2m＜5-3m且m＜-1，解得-1≤m≤0，或m＜-1
所以当m＜0时：m＜0
所以综上：m＜4/3
2.
令y=0，得f(x/2)=f(x)sina，于是f(1/2)=sina，f(1/4)=sin^2a
令x=1，得f(y/2+1/2)=sina+(1-sina)f(y)---①
此时，在①中令y=1/2，得f(3/4)=sina+(1-sina)f(1/2)，解得f(3/4)=2sina-sin^2a
再令x=3/4，y=1/4，由f((x+y)/2)=f(x)sina+(1-sina)f(y)得f(1/2)=f(3/4)sina+(1-sina)f(1/4)---②
将f(1/2)、f(1/4)、f(3/4)代入到②，得2sin^3a-3sin^2a+sina=0
即sina(sina-1)(2sina-1)=0
由于0＜a＜π/2，故0＜sina＜1，故2sina-1=0得a=π/6
故f(1/2)=1/2，f(1/4)=1/4

确实有难度，第二题做了一个多小时，差点没做出来……

Answer 2

(1)是打错了么？cos^2后应该有个a吧（我猜的）
这是高一的基本初等函数的题，这是一类题目：已知单调性和奇偶性，知道两个函数大小球自变量中的参数

通法是把不等式左边的一项拿到右边，用奇偶性解决函数外的负号，然后用单调性拿掉f，求解参数范围
f(cos^2......)>-f(3m-5)
因为奇函数，所以f(cos......)>f(5-3m)
因为减函数，所以cos......<5-3m
把带m的放到左边，不带的放到右面，然后把m分出来：m<4+sin^2A\3-2sinA(化简后的）
将比值看做斜率：4+sin^2A\3-2sinA表示y=1\2 x^2在[0，1]上的一段抛物线（即动点（2sinA，sin^2A轨迹）与定点（3，4）连线的斜率，就可以得到该式范围从而得到m范围

（2）一类题，看到这类用赋值法
令x=1,y=0,的f(1\2)=sina
令x=0,y=1,得f(1\2)=1-sina
所以1-sina=sina
求出sina=1\2，就是f(1\2)
同理，令x=1\2,y=0。。。。。。就求出f(1\4)l了