Question

一道感觉很难的导数问题（大虾来，求详解）

我求导后为：f'(x)=(1-lnx)/x^2 -a (a>0)请问f(x)在区间(1/e,e)的单调性，我的导数肯定没解错
最后那个减a是前面整体减a不是分母减a
1楼的有过程成不？ 为什么啊？

Answer 1

f'(x)=(1-lnx)/x^2 -a (a>0)，x>0

二阶导数：f''(x)=(2ln[x]-3)/x^3=(2ln[x]/x-3/x)/x^2 (x>0)
由于ln[x]/x<1，所以f''(x)<0恒成立；
说明f'(x)为减函数

而f'(e)=-a<0；f'(1/e)=2e^2-a
所以：
若2e^2-a<0，即：a>=2e^2，则：(1/e,e)内f'(x)<0，f(x)在(1/e,e)递减；

若2e^2-a>=0，即：0<a=<2e^2，则：f(x)在(1/e,e)先递增后递减；
记f'(x)=0的根为x0。
f(x)在(1/e,x0)递增，在(x0,e)递减；

至于x0,但方程f'(x)=0为超越方程，没有解析解。

Answer 2

单调增区间

Answer 3

利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．
一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)＞0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)＜0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常函数

考虑f'(x)=(1-lnx)/x^2 -a>0
(1-lnx)/x^2>a
1-lnx>ax^2
lnx<1-ax^2
比较y1=lnx和y2=1-ax^2两个函数的图像。两个函数的大小关系显然和a的取值范围相关

(1) 当x=1/e时，y1=-1, y2=1-a/e^2. 若a>=2e^2,则y2<=y1。而y1=lnx在区间(1/e,e)为增函数，y2=1-ax^2在区间(1/e,e)为减函数
可知在区间(1/e,e),y2<y1. f'(x)<0。此时函数y=f(x)在区间(1/e,e)内单调递减

(2) 当0<a<2e^2时，若x=e时，y1=1, y2=1-ae^2 y1>y2。若x=1/e时，y1=-1, y2=1-a/e^2，y1<y2。y1=lnx在区间(1/e,e)为增函数，y2=1-ax^2在区间(1/e,e)为减函数
设y1=lnx和y2=1-ax^2两个函数图像的交点为(x0,y0),则
在区间(1/e,x0)内y1<y2, f'(x)>0,函数y=f(x)在区间(1/e,x0)内单调递增
在区间(x0,e)内y1>y2, f'(x)<0,函数y=f(x)在区间(x0,e)内单调递减

综上所述，
若a>=2e^2,函数y=f(x)在区间(1/e,e)内单调递减
若0<a<2e^2，函数y=f(x)在区间(1/e,e)内先单调递增再单调递减