Question

过抛物线x^2=4y上两个不同的点A,B分别作抛物线的切线相交于点P

过抛物线x^2=4y上两个不同的点A,B分别作抛物线的切线相交于点P，并且满足向量PA与向量PB的点积为0
1.求点p的轨迹方程
2.已知点F（0，1）是否存在常数拉姆达使得向量FA与向量FB的点击+拉姆达向量FP的平方=0？ 若存在求出拉姆达

Answer 1

解法（一）：（1）设A（x1， x12 4 ），
由x2=4y，得：y′= x 2 ，∴kPA= x1 2 ，kPB= x2 2 ∵ PA • PB =0，
∴PA⊥PB，∴x1x2=-4．（4分）
直线PA的方程是：y- x 21 4 = x1 2 (x-x1）即y= x1x 2 - x 21 4 ①
同理，直线PB的方程是：y= x2x 2 - x 22 4 ②，（6分）
由①②得：
x= x1+x2 2 y= x1x2 4 =-1 (x1，x2∈R)
∴点P的轨迹方程是y=-1（x∈R）．（8分）
（2）由（1）得： FA =(x1， x 21 4 -1）， FB =(x2， x 22 4 -1），P（ x1+x2 2 ，-1） FP =( x1+x2 2 ，-2)，x1x2=-4，
FA • FB =x1x2+( x 21 4 -1)( x 22 4 -1)=-2- x 21 + x 22 4 （ FP )2+2，
所以 FA • FB +( FP )2=0
故存在λ=1使得 FA • FB +λ( FP )2=0．（14分）
解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且 PA • PB =0，
∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且PA⊥PB，
设PA的直线方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0）
由
y=kx+m x2=4y 得：x2-4kx-4m=0．（4分）
∴△=16k2+16m=0即m=-k2
即直线PA的方程是：y=kx-k2
同理可得直线PB的方程是：y=- 1 k x- 1 k2 ，（6分）
由
y=kx-k2 y=- 1 k x- 1 k2 得：
x=k- 1 k ∈R y=-1
故点P的轨迹方程是y=-1（x∈R）．（8分）
（2）由（1）得：A（2k，k2），B（- 2 k ， 1 k2 -1），
∴ FA =(2k，k2-1)， FB =(- 2 k ， 1 k2 -1）， FP =(k- 1 k ，-2） FA • FB =-4+(k2-1)( 1 k2 -1)=-2-(k2+ 1 k2 ）．
故存在λ=1使得 FA • FB +λ( FP )2=0．（14分）