Question

已知:3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2,求证a=b=c

1.已知:3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2,求证a=b=c

2.小明在计算中发现：1*2*3*4+1=5^2，2*3*4*5+1=11^2，3*4*5*6+1=19^2，由此他做出猜想：四个连续正整数的乘积加1必为平方数，你认为他的猜想对吗，请说明理由

Answer 1

1.3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2 把这个等式两边展开
=a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac 两边都同时乘以2
=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc
=(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2=0
因为任意数的完全平方都大于等于0
所以a-b=0 b-c=0 a-c=0
所以a=b b=c c=a 所以a=b=c

2.对

设四个数为(n-1). n .(n+1). (n+2)
(n-1)n(n+1)(n+2)+1
=(n"+n)(n"+n-2)+1
=(n"+n)"-2(n"+n)+1
=(n"+n-1)"
所以所得的和一定是一个正整数的平方