Question

在△ABC中,三个内角A,B,C,的对边分别是a,b,c,其中c=10且CosA/CosB=b/a=4/3.求证:1

在△ABC中,三个内角A,B,C,的对边分别是a,b,c,其中c=10且CosA/CosB=b/a=4/3.求证:1。△ABC是直角三角形；2。设圆O过A,B,C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP的面积。。

Answer 1

由正弦定理:b/a=sinB/sinA=cosA/cosB
∴sinAcosA=sinBcosB===>2sinAcosA=2sinBcosB
sin2A=sin2B====>2A=2B或2A+2B=180
∵b/a=4/3≠1 ∴A≠B, ∴A+B=90 ∴△ABC是直角三角形
∴AB是直径,AOB在一条直线上,连结PO,CO, 设:∠ABC=∠B, ∠POC=∠O
sinB=b/c=8/10=4/5, cosB=3/5
∠POA=60º(△AOP为正三角形), ∴∠O=120º-∠COB=120º-(180º-2B)=2B-60º
∴sinO=sin(2B-60º)=2sin(B-30º)cos(B-30º)=2[(4√3-3)/10)][(3√3+4)/10]=(48-7√3)/50
∴S△POC=5*5*sinO/2=(48-7√3)/4
又S△AOP=5*5*sin60º/2=25√3/4, S△BOC=5*6*sinB/2=12
∴S◇ABCP=S△(POC+AOP+BOC)=24+9√3/2

Answer 2

解：∵
ab是圆o的直径
∴∠acb=90°
又
cosa/cosb=b/a=√3，ab=2r
∴
∠cab=30°，∠b=60°，a=r，b=√3r
（这步勾股定理，如果不能直接看懂的话可以分为几步）
又ac是圆o上的弦
∴∠p=2∠b=120°
（弦对应的顶角，什么定理我忘记了）
∴
∠pac=∠pab-∠cab=θ-30°
在△cpa中，有
∠p+∠pac+∠pca=180°
∴
∠pca=180°-∠pac-∠p=180°-（θ-30°）-120°=90°-θ
∴
∠pac>=0，∠pca>=0即
θ>=30°且θ<=90°
又
ac/sin∠p=cp/sin∠pac
即
√3r/sin120°=cp/sin（θ-30°）
（正弦定理）
∴
cp=2rsin（θ-30°）
∴
△pac的面积为s1=cp*ac*sin∠pca/2=2rsin（θ-30°）*√3r*sin（90°-θ）/2
=rsin（θ-30°）*√3r*cosθ
（后面直接给答案，如果不懂就问我）
=√3/2r²sin（2θ-30°）-√3/4r²
△acb的面积为s2=ac*bc/2=√3/2r²
∴四边形abcp的面积s=s1+s2=√3/2r²sin（2θ-30°）-√3/4r²+√3/2r²
=√3/2r²sin（2θ-30°）+√3/4r²
（θ>=30°且θ<=90°）
当且仅当
θ=60°时
s有最大值
且最大值为smax=3√3/4r²
希望我的回答对你有所帮助，如果不懂可以继续问我。另，回答不易，望采纳。