Question

求解一道应用题（微分方程）

已知一文件大小为10mb，下载开始时（t=0）瞬时速度为2mb/s，则剩余时间显示为5s，假设下载速度会根据剩余量自动调整，使得“剩余时间”始终保持为5s，设 y=f（t）表示已下载量与时间的关系，y'则表示某一时刻的下载速度，可得关系式：
y+5y'=10
y(0)=0 （我自己的理解）
那怎么求出y关于t的表达式呢？ 还是条件不够不能求？
这个文件有可能下完吗？

Answer 1

关系式正确.条件也完全够.下面解这个微分方程：
y+5y'=10这是一个一阶线性微分方程，利用常数变易法解得：
y=10+Ce^(-t/5).（C为积分常数）.
因为：y(0)=0即：10+C=0.故C=-10.所以方程为：
y=10-10e^(-t/5).可见只有t趋于正无穷大才可能下载完.即是说这10mb文件不可能下载完.

但是事实上却并不这样，当时间t=120s即两分钟时，已经下载了99.9%，由于其下载的量子性，我们可以认为已经下载完了.