Question

n阶齐次线性微分方程（只有一个方程）一定有n个线性无关的解么？为什么？ 其通解一定要含有n个解么？

• 你的回答被采纳后将获得：
• 系统奖励15（财富值+成长值）+难题奖励20（财富值+成长值）+提问者悬赏20（财富值+成长值）

Answer 1

n阶齐次线性微分方程的特征方程是一个一元n次方程。根据代数基本定理，任何复系数一元n次多项式 方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。所以：
n阶齐次线性微分方程一定有n个线性无关的解。其通解一定要含有n个解。
对于单重根λm，其通解中出现e^(λmx)。
对于多重根λp（假设为k重根），通解中出现x^j*e^(λpx)，j=0,1,2,……,k-1。
如果某根λ是复数，可利用欧拉公式化成正余弦的形式。