Question

lim(x,y)→(0,0)xy/x^2+y^2极限是存在不是吗

lim(x,y)→(0,0)xy/x^2+y^2极限是存在不是吗因为x^2+y^2≥2xy，则xy/x^2+y^2≤xy/2xy=1/2，可是为什么有人说极限不存在？

Answer 1

不存在。

令 y=k·x，则极限x,y趋向0 lim x y/(x^2+y^2)

=x趋向0 lim kx²/[(1+k²)·x²]

= k/(1+k²)

它的值随k值变化而变，因此不是一个确定的值，不符合极限在在的条件。

函数极限可以分成  ，而运用ε-δ定义更多的见诸已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。

以  的极限为例，f(x) 在点  以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数  ，使得当x满足不等式  时，对应的函数值f(x)都满足不等式：  ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。

从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式  成立”意味着：所有下标大于N的  都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。换句话说，如果存在某  ，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。

注意几何意义中：

1、在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；

2、所有其他的点  （无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。

换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

扩展资料：

单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

①利用函数连续性： （就是直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0）

②恒等变形：

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

Answer 2

多元函数的极限要存在，则从任意路径趋于（0，0）时的函数值要相等。取x=y，x=-y，两个方向，则：

（图片显示有点问题，后面的极限是-1/2

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

令y＝kx，代入得k/1+k²，由于该式与k有关，并非是一个常数，所以极限不存在

Answer 5

不存在。
令 y=k·x，则极限x,y趋向0 lim x y/(x^2+y^2)
=x趋向0 lim kx²/[(1+k²)·x²]
= k/(1+k²)
它的值随k值变化而变，因此不是一个确定的值，不符合极限在在的条件。