Question

已知抛物线y^2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点。

当OAB的面积等于根号10时，求K

Answer 1

y=kx+k
y²=k²x²+2k²x+k²=-x
k²x²+(2k²+1)x+k²=0
x+x2=-(2k²+1)/k²
x1x2=1
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=(4k²+1)/k^4
y=kx+k
(y1-y2)²=(kx1+k-kx2-k)²
=k²(x1-x2)²
=(4k²+1)/k²

所以AB=√[(x1-x2)²+(y1+y2)²]=[√(4k²+1)(k²+1)]/k²
O到ABkx-y+k=0距离=|k|/√(k²+1)
所以面积=AB*O到AB距离÷2=√10
[√(4k²+1)(k²+1)]/k²*|k|/√(k²+1)=2√10
[√(4k²+1)]/k²*|k|=2√10
平方
(4k²+1)/k²=40
k=±1/6

Answer 2

y=kx+k
y²=k²x²+2k²x+k²=-x
k²x²+(2k²+1)x+k²=0
x+x2=-(2k²+1)/k²
x1x2=1
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=(4k²+1)/k^4
y=kx+k
(y1-y2)²=(kx1+k-kx2-k)²
=k²(x1-x2)²
=(4k²+1)/k²
所以AB=√[(x1-x2)²+(y1+y2)²]=[√(4k²+1)(k²+1)]/k²
O到ABkx-y+k=0距离=|k|/√(k²+1)
所以面积=AB*O到AB距离÷2=√10
[√(4k²+1)(k²+1)]/k²*|k|/√(k²+1)=2√10
[√(4k²+1)]/k²*|k|=2√10
平方
(4k²+1)/k²=40
k=±1/6