Question

已知二次函数f(x)=ax^2+x+1对x属于[0,2]恒有f(x)>0,求a的取值范围

Answer 1

二次函数f(x)=ax²+x+1对称轴为x=-1/(2a)
f(x)在(0,2)上恒有f(x)>0，则必有a>0，开口向上
对方程ax²+x+1=0，△=1-4a
当△<0，即a>1/4时，函数与x轴无交点，f(x)>0在定义域内恒成立；
当△≥0，即a≤1/4时，函数与x轴有交点，需解出函数与x轴的交点坐标
方程解为x1=[-1-√(1-4a)]/(2a)，x2=[-1+√(1-4a)]/(2a)
∵a>0，∴x1≤x2； 当x2≤0或x1≥2时，f(x)>0成立，
即[-1+√(1-4a)]/(2a)≤0或[-1-√(1-4a)]/(2a)≥2
解得，0<a≤1/4
∴a的取值范围为a>0

Answer 2

对a和轴分类讨论。