Question

问一道高中数学题目

设点An(Xn,0)、P(Xn,2的 (n-1)次方)和抛物线Cn:y=x平方+anx+bn(n是正整数），其中an=-2-4n-1/2的n-1次方，Xn由以下方法得到:X1=1,点P2(X2,2)在抛物线C1:y=x平方+a1x+b1上，点A1(X1,0)到P2的距离是 A1到 C1上点的最短距离,…，点Pn+1(Xn+1,2的n次方）在抛物线Cn:y=x平方+anx+bn上，点An(Xn,0)到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离。⑴求X2及C1的方程；⑵证明｛Xn｝是等差数列。

Answer 1

(1)由题意,可知:
抛物线Cn在点Pn+1处的切线与直线AnPn+1相互垂直,才能满足以上条件.即:
y'|x=X(n+1) =2X(n+1)+an, K(AnPn+1)=2^n/[X(n+1)-Xn]且满足上面两式乘积为-1.
对n=1:A1(1,0),P2(X2,2),an=-7.套用以上结论有:
X2=3,b1=14.求得C1:y=x^2-7x+14.

(2)由题意,用数学归纳法证明,即假定结论成立,则{Xn}为首项为1,公差为2的等差数列,即Xn=2n-1.带入上述式子判定是否满足乘积为-1.(当然肯定满足,这样不用费很多脑筋,方便啊)

其他的证明方法感觉比较罗嗦,我就没想了.用代数或者向量的方法肯定是繁琐的.

Answer 2

(1)解：由题意可得，
a1=-2-4-1=-7,
设A1到C1上点C（p,q）是A1到C1上的点的最短距离，
则过C点的抛物线的切线l的斜率：y′|x=p =2p+a1=2p-7，A1C⊥l，
A1C的斜率：q/(p-1),
则有（2p-7）q/(p-1)=-1 ①；q=p^2-7p+b1 ②；2=X2^2-7X2+b1 ③；
由点A1(X1,0)到P2的距离是A1到C的距离得
（p-1）^2+q^2=4+(X2^2-1)^2 ④
由①②③④解得p=3,q=2,X2=3,b1=10,
C1的方程为：y=x^2-7x+10
(2)证明：(分析：题目是要证明｛Xn｝为等差数列，显然可以先考虑它是等差数列，顺向思维考虑，而通过第一问，我们知道了X1=1、X2=3，则可以先假设Xn=2n-1，然后再证明满足题干。证明和条件相同时和问题（1）的求法相同)。

Answer 3

(1)y=x^2-7x+14
(2)Xn=2n-1

Answer 4

bn没给吗？