Question

2016贺州)如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为

2016贺州)如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．
第二问不用相似来证明

Answer 1

（1）证明：

∵AE=AB，

∴∠AEB=∠ABE=1/2（180°-∠BAC）=90°-1/2∠BAC，

∵∠BAC=2∠CBE，

∴∠CBE=1/2∠BAC，

∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°-1/2∠BAC+1/2∠BAC=90°，

∴BC是⊙O的切线。

（2）

∵∠BAC=90°，AB=8，BC=6，

∴AC=10（根据勾股定理），

∵BC是⊙O的切线，

∴BC²=DC×AC（切割线定理），

即36=DC×10，

∴DC=3.6，

∵AE=AB=8，

∴CE=AC-AE=10-8=2，

∴DE=CD-CE=3.6-2=1.6.