Question

高一数学正余弦定理的问题

三角形ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=√3，分别在边AB，BC，CA上取点DEF，使三角形DEF是等边三角形，设∠FEC=α，问sinα为何值时，三角形DEF边长最短。并求出最短边的长
详细过程。

高一知识回答、谢谢

Answer 1

过点D作DG平行于BC

∵AB=2 BC=1 CA=√3

∴△ABC是Rt三角形，∠C=90°

∴DG⊥AC

设正三角形△DEF的边长为 x

∴∠DFE=60°，DE=DF= x

∵∠CFE=α，∠CFE+∠DFE+∠AFD=180°

∴∠AFD=120-α

在Rt△CEF中，sinα=2 √ 7/7

∴cosα=√ 21/7=CF/EF

∴CF=√ 21x/7

在Rt△DFG中，

sin(120°-α）=GD/DF

sin(120°-α）=sin120cosα-cos120sinα

=5√7/14

cosα=√21/14=GF/DF

∴GF=√21x/14，GD=5√7x/14

∵∠A=30°

∴AG=5√21x/14

∵AG+GF+CF=AC=√3

∴5√21x/14+√21x/14+√ 21x/7=√3

∴x=√7/4

∴边长为√7/4

Answer 2

由角A.B.C成
等差数列
得2B
=
A
C
--->
B
=
60度;
2R
=
b/sinB
=
1/√3/2
a
c
=
2R(sinA
sinC)
=
2R(sinA
sin(120-A))
=
2R(sinA
√3/2*cosA
1/2sinA）
=
2R（3/2SinA
√3/2*cosA）
=
2√
3R
*（√3/2SinA
1/2*cosA）
=
2√3Rsin(A
30)
=
2sin(A
30)
因为
0<A<120
所以
30<A
30<150
a
c
=
2sin(A
30)
所以
1<a
c<2