Question

设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A,B两点

设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A,B两点，且A,B两点的坐标分别为（x1,y1)、(x2,y2),y1>0,y2<0，M是抛物线准线上的一点，O是坐标原点。若MA、MF、MB的斜率分别记为：Kma=a,Kmf=b,Kmb=c.
（1）若y1y2=-4,求抛物线的方程。
(2)当b=2时，求a+c的值
会做的帮帮忙，明天就要交的。谢谢~~~

Answer 1

设定点M坐标为(m,n)，动点A坐标(x1,y1),B坐标(x2,y2)
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,即：
|AF|=x1+ p/2,|MF|=m+ p/2,|BF|=x2+ p/2
由|AF|、|MF|、|BF|三者成等差数列可知，|AF|+|BF|=2|MF|,即：
x1+ p/2 + x2+ p/2=2(m+ p/2）,化简得m=(x1+x2)/2
A、B两点在抛物线上，∴y1²=2px1,y2²=2px2
两式相减得到：(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)
∴AB斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)

线段AB的垂直平分线满足：垂直于AB且过AB中点[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
AB垂直平分线方程为
y=-[(y1+y2)/2p][x-(x1+x2)/2]+ (y1+y2)/2
=-[(y1+y2)/2p](x-m-p)
此直线必过定点Q(m+p,0)