Question

一道困扰我很多天的数学题。关于《常微分方程》特解。。。

Answer 1

你验算一下不就可以了吗

会不会是你算错了
是重根 没问题
所以Y*=A(x)*x^2*e^2x 啊
答案开始给的A 并没说是一个常数啊
A是一个x的函数啊
通过待定系数 求出A(x)

你把A理解成常数 所以可能算错了
A是x的n次多项式 具体的等号右边是几次式 n就是几
这一题 右边的是xe^2x x是一次式
所以可以设 A=ax+b
然后Y*=(ax+b)*x^2*e^2x 代入方程
待定系数法求a和b

估计你是把A直接当做常数 所以感觉Y*的次数不够了 然后人工添作x^3 才能补齐次数

其实看特征根 只是简便你怎么设A(x)
如果喜欢弄混
可以完全不管特征根
管他是什么 你都按比等式右边高2次的设
因为左边要求2阶导 会降2次
设完 只不过系数会多一点 求起来不怎么复杂
不信按我的方法 你试试这题
因为等式右边是
x*e^2x
所以不管特征根
直接设Y*=(ax^3+bx^2+cx+d)*e^2x
代入方程 待定系数法求出 a b c d

因为求导的时候e^2x 上面的2会拿下来 如果是e^tx
那t就会拿下来 如果t恰好满足某个方程
会使x的某次 的系数恰好只剩 单纯的c 或者d
而等式右边又没有 c d 所以c d 就直接等于0 就不用设出来
如果t是单根 就会使 d=0
如果是重根就使 c =0 d=0
所以就只用设 Y*=A(x)x^2*e^2x
设A(x)=ax+b 即Y*=(ax^3+bx^2)*e^2x
就没有c d了 看特征根就这么点用处
而你直接设Y*=(ax^3+bx^2+cx+d)*e^2x
到代入方程的时候 会使x的某次项 只含有c和d 到时再确定c=0 d=0 也不迟
看了特征根 就提前知道 c=0 d=0 而已

不知道我说的你明白没有