Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a,b为常数，且a不等于0)

满足条件：f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根。(1)求的f(x)解析式
(2)是否存在实数m，n使得f(x)的定义域为[m,n]和值域为[3m,3n]？如存在求出m,n的值，若不存在，请说明理由

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Answer 1

(1)首先，由f(x)=x有等根可得：ax^2+(b-1)x=0这个方程的判别式为0，即(b-1)^2=0,故b=1
接着：f(-x+5)=f(x-3)可得：(2a+1)(x-4)=0 (认真的把平方开出来并且合并同类项即可得到，纯粹是体力活。。。) 由于这个式子对一切x均成立，所以表示无论x取何值这个式子都为0，即a=-1/2,故f(x)=-1/2*x^2+x
(2)f(x)先化为顶点式：f(x)=-1/2*(x-1)^2+1/2
所以当m>1时，整个式子单调递减。于是f(m)=3n,f(n)=3m，两式想减得到：(m-n)(m+n-8)=0,因为m不等于n,故m+n=8，代入任一个式子中得到：n=12 or n=4,对应m=-4 orm=4。都不符合题意，舍去。
当m<1<n时，最小值3m=1/2,故m=1/6.然后f(1/6)为最大值(f(n)=3n解出来无意义，舍去)=11/72=3n,故n<m.无意义。
剩下一种情况LZ自己讨论吧，总之我估计无解。。。