Question

已知圆x^2+y^2+4x-4y=0和x^2+y^2-x=0

已知圆x^2+y^2+4x-4y=0和x^2+y^2-x=0
(1)求两圆的公共弦所在的直线方程；
（2）求公共弦长
恩是对的。但是为什么要两个圆的方程相减呢？在自学不知道是什么方法！

Answer 1

两方程相减得到的直线方程就是公共弦公式

证明如下：
假设两个圆的方程是f(x,y)=0,g(x,y)=0，那么无论K取什么值，方程f(x,y)+Kg(x,y)=0都经过两个圆的交点，假设（x1，y1）是一个交点，则f(x1,y1)=0，y(x1,y1)=0，则有f(x1,y1)+Kg(x1,y1)=0成立，所以（x1,y1）在方程f(x,y)+Kg(x,y)=0上

那么我们令k=-1，得到f(x,y)-g(x,y)=0，因为圆方程总可以写成(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0的形式，所以f(x,y)-g(x,y)就消去了圆方程中x,y的二次项，只剩下ax+y+c=0的形式，肯定是直线方程，而这个直线过两个圆的交点，那么肯定是这两个圆的公共弦。

因此原题目公共弦方程为5x-4y=0，带入任意一个圆方程得到两组解，也就是交点坐标，设为(x1,y1),(x2,y2)，则这两点间的距离就是弦长，用√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2求出来就好了

Answer 2

第一题是，5X-4Y=0直接把两个方程相减。得到的就是所求方程。第二题因为是手机回来所以不好解答。

Answer 3

两方程相减得到的直线方程就是公共弦公式
5x-4y=0
然后用任何一个圆的圆心，算出点到直线距离。在用半径做勾股定理就可以出来弦长。或者把弦的公式带入任何一个圆得出两交点，用两点间距离公式也可得出弦长