Question

高等数学三道习题求解 如图。多谢。

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Answer 1

4. 当 x < 0 时， F(x) = 0;
当 0≤ x ≤2 时，
F(x) =∫<-∞, x>f(t)dt =∫<0, x>f(t)dt
=∫<0, x>(6t-3t^2)dt = 3x^2-x^3
当 x > 2 时，
F(x) =∫<-∞, x>f(t)dt =∫<0, 2>f(t)dt
= [3x^2-x^3]<0, 2> = 4.
综合：
F(x) = 0， 当 x < 0 时；
F(x)= 3x^2-x^3， 当 0≤ x ≤2 时，
F(x) = 4，当 x > 2 时。
1. F(x) = ∫<a, x>f(t)(x-t)dt
= x∫<a, x>f(t)dt - ∫<a, x>tf(t)dt
则 F'(x) = ∫<a, x>f(t)dt + xf(x) - xf(x)
= ∫<a, x>f(t)dt ,
F''(x) = f(x) .
9. F(x) = ∫<下0, 上x>tf(x^2-t^2)dt
= (-1/2)∫<下0, 上x>f(x^2-t^2)d(x^2-t^2)
令 x^2 - t^2 = u, 则
F(x) = (-1/2)∫<下x^2, 上0>f(u)du
= (1/2)∫<下0，上x^2>f(u)du
dF(x)/dx = xf(x^2)