Question

微积分中定积分问题

微积分中定积分问题见图片

Answer 1

这个问题关注得很仔细，我谈一下我的理解吧。

图中双纽线的方程为

那么为什么这个方程会导致θ∈(π/4,π/2)的时候，图象是“空”的呢？其实图象是“空”的，这只是一种“假象”。为什么呢？因为我们默认这个方程的解是实数。

事实上，当θ∈(π/4,π/2)的时候，ρ
虽然没有实数解，但在复数范围内是有解的。

下面把θ∈[0,2*π]的双纽线完整地画出来：

图中的绿色部分本应该画成虚线（因为横坐标和纵坐标都是纯虚数），软件作图出现bug，用颜色区分一下。

实际上，虚线部分的面积和实数部分的计算公式是不一样的。而当我们默认x和y都是实数的时候，图中的虚线部分就抹掉了，所以θ∈(π/4,π/2)的部分就自然“空”了出来，因此我们计算实线部分围成的面积的时候，就得“避开”虚线部分进行积分。但实际上虚线部分是存在的，所以把θ∈(π/4,π/2)的部分也套用同一个公式，就不经意地把忽略掉的“负”的面积包含了进去，进而导致计算结果相抵消了。

Answer 2

这个问题不知所云,定积分是微积分学的一个部分。如果您是在问不定积分与定积分,那么简要说,不定积分是已知导数求原函数,定积分是求和的极限(即积分和),具体参见数学分析教材

追问

说的什么玩意儿？