Question

高一数学题三角形ABC中,acosA+bcosB=ccosC.判断三角形的形状.

高手来

Answer 1

令k=a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以a=ksinA
b=ksinB
c=ksinC
代入acosA+bcosB=ccosC，并约去k
sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
sin2A+sin2B=2sinCcosC
sin[(A+B)+sin(A-B)]+sin[(A+B)-sin(A-B)]=2sinCcosC
sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos(A+B)sin(A-B)=2sinCcosC
2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC
sin(A+B)=sin(180-C)=sinC
所以cos(A-B)=cosC
所以A-B=C
A=B+C
所以A=90
所以是直角三角形

Answer 2

本题重点考察正余弦定理和和差角公式以及三角形中角的变换。
解：设k=a/sinA=b/sinB=c/sinC，则a=ksinA，b=ksinB， c=ksinC，代入acosA+bcosB=ccosC，
得sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，所以sin2A+sin2B=2sinCcosC，变形为sin[(A+B)+sin(A-B)]+sin[(A+B)-sin(A-B)]=2sinCcosC，展开得sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos(A+B)sin(A-B)=2sinCcosC，整理得2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC，即sin(A+B)=sin(180-C)=sinC，所以cos(A-B)=cosC，所以A-B=C，即A=B+C，又A+B+C=180，所以A=90，所以是直角三角形。

Answer 3

由余弦定理
a(b^2+c^2-a^2)/(2bc)+b(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=c(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
a^2(b^2+c^2-a^2)+b^2(a^2+c^2-b^2)=c^2(a^2+b^2-c^2)
a^4-2a^2b^2+b^4-c^4=0
(a^2-b^2)^2-c^4=0
(a^2+c^2-b^2)(a^2-b^2-c^2)=0
a^2+c^2=b^2或a^2=b^2+c^2
所以是直角三角形

Answer 4

acosA+bcosB=ccosC
sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
sin2A+sin2B=2sinCcosC
2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC
cos(A-B)=cosC=cos(π-A-B)
π-A-B=A-B或π-A-B=B-A
A=π/2或B=π/2
△ABC为直角三角形