Question

如何用放缩法证明(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)…(1-3^n)>1/2?

Answer 1

1-1/3>1-1/2
1-1/3^2>1-1/2^2
1-1/3^3>1-1/2^3
... ...
1-3^n>1-1/2^n
所以原不等式
左边>(1-1/2)(1-1/2^2)(1-1/2^3)...(1-1/2^n) 。。。。。(1)
又)(1-1/2^2),(1-1/2^3),...(1-1/2^n)均小于1
所以(1)式>1/2*1*1 ... 1=1/2

Answer 2

把左式变形成一个分式
分母是3的(n+1)/2次幂
分子是3的(n+1)/2次幂-3的(n-1)/2次幂-……
根据二项式定理的推论分子部分除3的(n+1)/2次幂之外的项之和小于3的(n+1)/2次幂的一半
所以分子部分就大于于3的(n+1)/2次幂的一半
约分就是1/2

Answer 3

(1-1/3)(1-1/3^2)
=1 - 1/3 - (1-1/3) * 1/3^2
>1 - 1/3 - 1 * 1/3^2
=1 - 1/3 - 1/3^2
类似地处理n次，得
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)…(1-3^n)
>1 - 1/3 - 1/3^2 - 1/3^3 … - 1/3^n
=2 - ( 1 + 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 … + 1/3^n )
=2 - 1/(1 - 1/3) + 1/3^(n+1)
=2 - 3/2 + 1/3^(n+1)
=1/2 + 1/3^(n+1)
>1/2

十几年书没白读,haha