Question

求解答，高数题

Answer 1

等价无穷小替换
∵ln(1+x)~x
∴ln[e^sinx+³√(1-cosx)]=ln[1+e^sinx+³√(1-cosx)-1]~e^sinx+³√(1-cosx)-1
∵arctanx~x
∴arctan[2³√(1-cosx)]~2³√(1-cosx)
∴原式=(1/2)lim(x→0) [e^sinx+³√(1-cosx)-1]/³√(1-cosx)
=(1/2){lim(x→0) [e^sinx-1]/³√(1-cosx)+ lim(x→0)³√(1-cosx)/³√(1-cosx)}
=1/2+(1/2)lim(x→0) [e^sinx-1]/³√(1-cosx)
再用等价无穷小替换
∵e^x-1~x
∴e^sinx-1~sinx~x
1-cosx~x²/2
∴原式=1/2+(1/2)lim(x→0) [e^sinx-1]/³√(1-cosx)
=1/2+(1/2)lim(x→0) x/³√(x²/2)
=1/2+(1/2)lim(x→0) ³√(2x)
=1/2