线性代数:若n阶矩阵A有n个不同的特征值,则A是否一定可相似对角化?
线性代数:若n阶矩阵A有n个不同的特征值,则A是否一定可相似对角化?A有n个不同的特征值,则对每个特征值A必有且仅有1个线性无关的特征向量,满足了A可相似对角化的条件。这...
线性代数:若n阶矩阵A有n个不同的特征值,则A是否一定可相似对角化?A有n个不同的特征值,则对每个特征值A必有且仅有1个线性无关的特征向量,满足了A可相似对角化的条件。这个推理对不对的?
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n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件。
n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件A有n个线性无关的特征向量,而特征值不同特征向量一定不同,由n阶方阵A具有n个不同的特征值可以推出A与对角阵相似,所以n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件。
但反之,则不一定成立。A与对角阵相似,特征值可能不同,也有可能出现相同的情况,只要满足A有n个线性无关的特征向量即可,所以n阶方阵A具有n个不同的特征值不是A与对角阵相似的必要条件。
扩展资料
判断相似矩阵的必要条件
设有n阶矩阵A和B,若A和B相似(A∽B),则有:
1、A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B),特别地,λ(A)=λ(Λ),Λ为A的对角矩阵;
2、A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|;
3、A的迹等于B的迹——trA=trB/ ,其中i=1,2,…n(即主对角线上元素的和);
4、A的行列式值等于B的行列式值——|A|=|B|;
5、A的秩等于B的秩——r(A)=r(B)。
因而A与B的特征值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据。
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