Question

已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,定点M(2,3)与点F在抛物线E的两侧,抛物线E上的动点P到点M的距离

已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,定点M(2,3)与点F在抛物线E的两侧,抛物线E上的动点P到点M的距离与到其准线l的距离之和的最小值为√10

(Ⅰ)求抛物线E的方程;

(Ⅱ) 设直线y=x/2+b与圆x2+y2=9和抛物线E交于四个不同点,从左到右依次为A、B、C、D.若直线BF,DF的倾斜角互补,求∣AB∣+∣CD∣的值.

Answer 1

解析如下：(Ⅰ)P到准线l的距离=∣PF∣，则∣PF∣+∣PM∣≥∣MF∣=√10=

解得p=6(M与F在抛物线的同侧，不合题意，舍去)或p=2

∴抛物线E:y2=4x

(Ⅱ)F(1,0)，设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)

由y=x/2+b与y2=4x得x2+(4b-16)x+4b2=0

∴x2+x4=16-4b，x2x4=4b2，且由Δ>0得b<2

∵直线BF、DF的倾角互补，∴kBF+kDF=0=y2/(x2-1)+y4/(x4-1)=(y2(x4-1)+y4(x2-1))/((x2-1)(x4-1))

∴y2(x4-1)+y4(x2-1)=0，即(x2/2+b)(x4-1)+(x4/2+b)(x2-1)=0

x2x4+(b-1/2)(x2+x4)-2b=0

4b2+(b-1/2)(16-4b)-2b=0，b=1/2

由y=x/2+1/2与x2+y2=9得5x2+2x-35=0

∴x1+x3=-2/5