Question

微分方程（3x^2-3y^2）dx+（4y^3-6xy）dy=0的通解是什么

Answer 1

P(x,y)=3x²-3y²,∂P/∂x=6x,∂P/∂y=-6y
Q(x,y)=4y³-6xy,∂Q/∂x=-6y,∂Q/∂y=12y²-6x
显然P(x,y)和Q(x,y)在R上具有一阶连续偏导数,并且满足∂P/∂y=∂Q/∂x
∴(3x²-3y²)dx+(4y³-6xy)dy是某个定义在R上的函数的全微分.
两边积分,

∫{(0,0)→(x,y)}(3x²-3y²)dx+(4y³-6xy)dy=C
左边=∫{0→x}3x²dx+∫{0→y}(4y³-6xy)dy
=x³+y^4-3xy²
∴通解为x³+y^4-3xy²=C

Answer 2

如图

追问

我想问下+（4y）是什么意思啊

追答

一个关于自变量为y的函数。因为对二元函数f x.y做关于x的偏导时，将会把只含自变量y的子函数全部抹出。类似于对一元函数求不定积分后的常数c。二元函数的偏导也是这样，把元变量中的一个变量当成“常量”，比如对x做偏导时，就把y当成“常量”。如果反求偏导函数的不定积分，自然需要把原先当成“常量”的变量y重新考虑到原二元函数的积分原函数中去。