Question

求解一道关于二次函数的数学题

已知二次函数y=x平方+ax+a-2的图像与x轴有两个焦点，且两个焦点间距离为2根号5，则a=？

希望写出答案与解题思路

Answer 1

解：设 y=x^2+ax+a-2 与X轴的两个交点分别为（x1,0)、（x2,0).
由韦达定理得：
x1+x2=-a,
x1*x2=a-2).
作平方：
(x1+x2)^2-4(x1*x2)=(x1-x2)^2,
(-a)^2-4*(a-2)=(2√5)^2. 【|x1-x2|=2√5。】
a^2-4a+8-20=0.
a^2-4a-12=0.
(a-6)(a+2)=0
∴ a1=6,
a2=-2.

经验算，a1,a2均符合题目要求。

Answer 2

设y=x²+ax+a-2与x轴有2个交点x1，x2，
且x1＜x2，
有x2-x1=2√5（1）得（x2-x1)²=20，
x1+x2=-a （2）得（x1+x2）²=a²
x1·x2=a-2 （3)得4x1x2=4a-8，
得：（x1-x2)²=x1²-2x1x2+x2²
=x1²+2x1x2+x2²-4x1x2，
=（x1²+x2）²-4x1x2，
∴20=a²-4a+8，
即a²-4a-12=0，
（a-6）（a+2）=0，
∴a1=6，a2=-2.

Answer 3

即方程x²+ax+a-2=0的两个根的差是2√5
|x1-x2|=2√5
(x1-x2)²=20

韦达定理
x1+x2=-a
x1x2=a-2
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2
所以20=a²-4a+8
a²-4a-12=0
(a-6)(a+2)=0
a=6,a=-2