Question

高数如图最后一题

Answer 1

分子有理化
分子分母同乘以√(x²-x+1)+(ax+b)
lim(x→∞)(x²-x+1-a²x²-2abx-b²)/[√(x²-x+1)+(ax+b)]
=lim(x→∞)[(1-a²)x²-(1+2ab)x+(1-b²)]/[√(x²-x+1)+(ax+b)]=0
上下除以x
lim(x→∞)[(1-a²)x-(1+2ab)+(1-b²)/x]/[√(1-1/x+1/x²)+(a+b/x)]=0
极限为0则分子趋于0
所以x系数和常熟都是0
1-a²=0
1+2ab=0
所以
a=-1，b=1/2
a=1，b=-1/2

追问

为什么分子就趋于0，系数常数为0

追答

哦，有错误，改一下
分子有理化
分子分母同乘以√(x²-x+1)+(ax+b)
lim(x→∞)(x²-x+1-a²x²-2abx-b²)/[√(x²-x+1)+(ax+b)]
=lim(x→∞)[(1-a²)x²-(1+2ab)x+(1-b²)]/[√(x²-x+1)+(ax+b)]=0
上下除以x
lim(x→∞)[(1-a²)x-(1+2ab)+(1-b²)/x]/[√(1-1/x+1/x²)+(a+b/x)]=0
此时分母√(1-1/x+1/x²)+(a+b/x)的极限是1+a
若a=-1
则lim(x→∞)[-(1-2b)+(1-b²)/x]/[√(1-1/x+1/x²)+(a+b/x)]=0
即(1-2b)/(1+a)=0
分母为0，不成立
舍去
a≠1时
分母趋于1+a
则lim(x→∞)[(1-a²)x-(1+2ab)+(1-b²)/x]/(1+a)=0
所以分子趋于0
所以x系数和常熟都是0
1-a²=0
1+2ab=0
所以
a=1，b=-1/2