Question

已知曲线y=1\3x^3上一点P(2,8\3),求过点P的切线方程

y=(1/3)x^3
求导 y'=x²
当 x=2时 y=8/3
所以这个点在曲线上
可得一条切线为 y=4x-16/3
当P点不是切点时
设切点为 （x0,y0）
则 斜率为 (y0-8/3)/(x0-2)
又 y0=(x0)³/3
斜率=(x0)²+2x0+4
y'=x² 当x=x0时
y'=(x0)²
所以 (x0)²+2x0+4=(x0)²
x0=-2
y0=-8/3
y=4x+16/3

(y0-8/3)/(x0-2)怎么得来的？

Answer 1

∵xp=2yp=8/3=(1/3)xp³∴P点在y=(1/3)x³上∵y′=x²在P点。k=y′|p=2²=4∴过P点的切线之一为：y=4(x-2)+8/3=4x-16/3假设存在第二条切线，切点为Q（m，(1/3)m³）斜率k2=y′|q=m²k2=(yQ-yP)/(xQ-xP)m²={(1/3)m³-8/3}/(m-2)3m²={m³-8}/(m-2)=(m-2)(m²+2m+4)/(m-2)3m²=m²+2m+4m²-m-2=0(m+1)(m-2)=0∴m=-1切点Q（-1，-1/3），斜率k2=(-1)²=1第二条切线为：y=x-2+8/3=x+2/3综上：切线一：y=4x-16/3切线二：y=x+2/3

追问

(yQ-yP)/(xQ-xP)m²怎么得来的？

Answer 2

对y＝（1/3）x^3两边求导数，得：y′＝x^2，
∴过点P的切线方程是：y－8/3＝4（x－2），即：y＝4x－16/3。