Question

高数，如何证明？？

Answer 1

证明：
本题纯粹是考查了概念！
根据已知：
∫(0,1)f(x)dx=A
根据定积分和积分次序和积分字母无关，于是：
∫(0,1)f(y)dy=A
因此：
∫(0,1)f(x)dx·∫(0,1)f(y)dy=A²，
上式可以转化成函数f(x)f(y)在区域D={(x,y)|0≤x,y≤1}的二重积分，即：
∫∫(D) f(x)f(y)dxdy=A²，
区域D是正方形，以y=x对称，而积分函数f(x)f(y)：
F(x,y)=f(x)f(y)=f(y)f(x)=F(y,x)
也关于y=x对称
因此：
∫∫(D1) f(x)f(y)dxdy=A²/2，其中：D1={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤1}
即：
∫(0,1)dx∫(0,1)f(x)f(y)dy=A²/2
证毕！