Question

一道数学有关极限的证明题

证明：数列{Xn}的极限为a <=> 存在ε>0，数列{Xn}中只有有限项Xn在a的ε邻域(a-ε,a+ε)之外。

Answer 1

“存在”应是“任意”。
证明：=>由于数列的极限是a，故对于任意ε>0，存在N，当n>=N时有
-ε<Xn-a<ε;
则当n<N的有限项Xn在a的ε邻域(a-ε,a+ε)之外，得证。

<=由于有限项Xn在a的ε邻域(a-ε,a+ε)之外，设为N项，我们将这N项调到数列的前面（我们有定理：对于收敛的收敛的数列调动其中的有限项不会改变它的收敛性），则有对于任意ε>0存在N+1，当n>=N+1时有
-ε<Xn-a<ε;
即数列{Xn}的极限为a，得证。
综上所诉得证命题。