Question

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设三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋1/2c＝b。《1》求角A的大小；《2》a＝1.求三角形ABC的周长L的取值范围。

Answer 1

1. 由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC, 所以条件式 acosC＋1/2c＝b 可以化为 sinAcosC+1/2sinC=sinB.
由和差化积公式：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 所以又有
sinAcosC+1/2sinC=sinAcosC+cosAsinC.
上式两边先消去sinAcosC后再同时除以 sinC 即得：cosA=1/2, 于是角A=60度.

2. 同样由正弦定理可知 b=asinB/sinA=2/根号3*sinB, c=asinC/sinA=2/根号3*sinC, 因此三角形ABC的周长L=a+b+c=1+2/根号3*(sinB+sinC).
因为 sinB+sinC (由和差化积公式)
=2sin(B+C)/2*cos(B-C)/2
=2sin60度*cos(B-C)/2
=根号3*cos(B-C)/2

因为A=60度，所以 -120度<(B-C)<120度，从而 -60度<(B-C)/2<60度，因此
1/2<cos(B-C)/2<=1, 因此 根号3/2<sinB+sinC<=根号3, 所以三角形ABC的周长L满足
2<L<=3. 即 2<L<=3.