Question

数学分析: 为何提出"开覆盖定理"而不是"闭覆盖定理"?

用闭区间来覆盖的话，会产生什么问题吗?

谢谢！！！！！

Answer 1

不能换成闭覆盖,开覆盖定理对应泛函分析中的紧性.
其中关键的一点区别是开集(开区间)是包含内点的,而闭集(闭区间)不一定.
这里说的闭区间包括单点集.
举一个反例就是[2,3]可以被[2,3]上的实数单点集(全是闭集)覆盖,但不存在有限个闭集覆盖[2,3]

Answer 2

是勒贝格有限覆盖定理么？
如果一个闭集被一个开集族覆盖则一定可以被有限覆盖
如果是闭区间组则命题不成立
考虑区间[1,2]以及集族[Sn,Sn+1] &[2,3]（n∈N）其中Sn=∑（2^(-k)）(0<=k<=n)，则显然该集族可覆盖但不可有限覆盖[1,2].
事实上
有1覆盖一个闭集的闭集族不必包含此闭集的有限子覆盖。
2覆盖一个开集的开集族不必包含此开集的有限子覆盖。
3覆盖一个开集的闭集族不必包含此开集的有限子覆盖。
以上的反例都很易得到。

Answer 3

对于闭区间套定理，只要证明区间左端点序列是基本序列即可
对于有限开覆盖定理，用反证法加二分法，构造一列闭区间套，使得其中的每个都不能被有限开覆盖，然后证明区间的左左端点序列是基本序列，再取一个开区间覆盖其极限即可得矛盾

Answer 4

应该也可以，
例如[2,3]可用一系列开集(2-1/n,3+1/n)覆盖,则可以找到有限覆盖
当然[2-1/n,3+1/n]也可以，不过既然有更小范围的，就没有必要用大的了

Answer 5

是勒贝格有限覆盖定理么？
如果一个闭集被一个开集族覆盖则一定可以被有限覆盖
如果是闭区间组则命题不成立
考虑区间[1,2]以及集族[Sn,Sn+1]
&[2,3]（n∈N）其中Sn=∑（2^(-k)）(0<=k<=n)，则显然该集族可覆盖但不可有限覆盖[1,2].
事实上
有1覆盖一个闭集的闭集族不必包含此闭集的有限子覆盖。
2覆盖一个开集的开集族不必包含此开集的有限子覆盖。
3覆盖一个开集的闭集族不必包含此开集的有限子覆盖。
以上的反例都很易得到。