Question

高中生菜鸟求助!!

我是一个普通的高中生,数学一直还行,也很有兴趣.初等数学还没彻底搞完,但有些问题困扰我好久了..以下是我在学导数与极限时想到的问题:

1.指数函数,对数函数,幂函数(指数为无理数的怎么推,二项式还能用吗?)的导函数怎么求?.

2.高阶导数能推广到分数阶导数吗,能不能给我讲讲分数阶呢?通俗一点好吗,毕竟我的基础最多高中毕业水平啊!

3.阶乘推广到实数如何求值呢?还是那样减一的乘吗?

4.y=x!图像???

5.据说牛顿恒等式,一元三次方程求解能用微积分求,如何求啊?

。。。

Answer 1

11、运用导数定义求函数的导数的步骤为

1）给出自变量增量
2）得出函数增量
3）作商
4）求极限
2、其中难点在极限是 不定型，要能运用前面已给的一些求极限运算的充分条件的关键是对 的处理上之所以做以上这几个特殊函数，就是因为它们的 都可以有初数时互等变形公式。例如

1）自然次数幂函数

2）正弦函数

3）对数函数

处理好的这些形式在比上 求 的极限 很简单而 借助特殊极限 对数函数 借助特殊极限 很容易求得结果，于是得公式：

作为练习，类似地大家可以做

二、求导运算关于函数运算的性质

1、关于四则运算

1）定理3.2

若函数 都可导，则

2）说明：

1）证明就是利用导数定义的推演只要能看懂就行。关键在于这些法则的灵活运用。加减法很简单，和差的导数等于各自导数后和差。但是乘法除法就特殊了需要理解和记忆。特别是除法，首先是分母函数平方而分子是两项之差，因减法没交换律，一定要分清减数和被减数。
2）加减乘都可以推广到n个函数的情况，例如

乘法

3）数乘性

作为乘法法则的特例若 为常数 则 这说明常数可任意进出导数符号

4）线性性

类似极限运算的讨论。求导运算也是满足线性性的，即 可加性 数乘性，对于n个函数的情况

3）运用这些运算法则，在原有的几个求导公式基础上，可推得

2．反函数求导法则

1）定理3.3

若函数 严格单调且可导，则其反函数 的导数存在且 ，这一定理的证明第一是 的反函数存在，第二若可导证其导数等于其反函数的导数的倒数。

2）由反函数求导法则结合前面基本导数公式又可得

注意这些公式的推导时，难点在变量还原时开方的符号取舍的讨论上。

3．复合函数求导法则

1）定理3.4

若 在 点可导 在相应的 点也可导，则其复合函数 在点 可导且 或记为 。

2）说明

对于此定理的证明，分析一下：

给自变量 一个增量 通过 得到中间变量的一个增量 进而又通过外层函数 得到函数的增量 将其比起来可见 由于可导必连续，即 时 两边取极限又注意到 和 都存在，即

这一证明很简单且清晰，为什么教材中P105的证明如此复杂繁琐？实际上这里的证明有问题，问题出在自变量增量 是规定的，以此得到的中间变量增量 完全可能为0，若 ，以上的比值 就得不到，教材中的证明繁琐就是要解决这一问题。这里说明仅是提醒大家，严密的数学证明有时是很麻烦的。只不过对于我们证明过程并不重要。主要是要会用此结论。

推广

如果一个函数有三次复合，且都是可导的 ,复合函数 的导数为 利用数学归纳法可以证明n次复合的求导原则。从公式的结构看犹如从外向内一层层地进行其结果也是系链子一样一环扣一环的连乘积，所以常把它称为链锁规则。

这里导数的符号上有个容易引起混淆的问题。若复合函数 其导数 ，很容易引起混乱。可见此时的Leibniz符号更好。 。求导运算是哪个函数关于哪个变量变化下的运算问题与此变量无关的变量是被认为无关的常量在此运算下是不变的。Leibniz符号就很难准确和清楚。这在变量符更多的时候更显其优越。

强调注意这一问题并非仅仅是个形式上的问题，而是能否正确运用此法则顺利进行求导计算的关键之一，而另一个关键在于对复合函数的分解，怎样的分解才合理，必须以基本初等函数幂、指、对、三角、反三角的函数符为基准。

例如
解：可看成
则
再将各变量转换为 的函数形式代入。

这样的做法很细致，初学者不容易出错，但是很累赘，且不利于思维的发展，希望大家多做一点练习后，尽快地从中摆脱出来，直接地由心算就能将其复合求导问题解决。

例如：

（不写中间变量符不仅是图方便而且更能放松思维，务必尽快达到这一境界）

3）应用它解决一般幂函数的求导公式

（ 为一切实数，而前面用定义只解决了指数为自然数的 求导公式
解：用对数恒等式 可看成复合函数 注意公式的结果无论其指数是自然数n还是实数 都是同样的结果： 为任何实数，这个公式虽然把一般的幂函数都解决了，而且教材中P108导数基本公式表中也只列出它，但实际运用中大量涉及倒数和开平方，虽是幂级数特殊形式，因用得太频繁，所以可单独列出来。

4总结

1） 至此，我们完成了对基本初等函数的求导运算，并将其结果列成基本求导公式（教材P108）并且讨论了关于函数运算的求导法则。于是对于初等函数，在其有定义的范围上都可用这套体系求其导函数了，尽管其导函数的定义域可能有变化。

这一套体系我们称为微分法。可是它对于初等函数求导的强大功能，它把求导这种求 型极限的问题转换成了利用基本公式表结合运算法则的相对简单且机械的运算问题，稍加练习后就会熟练起来，到时会看到对于初等函数的求导运算甚至比中学的多项式化简或三角函数的恒等变形都更好算，因为它非常的机械。

2） 熟记基本导数表及运算法则是最基本的，这里的难点是复合函数求导法则的灵活运用。

例子

两相对比，可见链锁规则更简单。这里还刚好有个倍角公式。所以在一般计算中，更注意哪怕是 的情况，乘一个常数后的 也要看成自变量 的一级复合。

3）对于基本求导公式表中的这16个公式中，注意指数函数的求导公式 若无理数 为底时 ，这说明函数 关于求导运算是个不变量，即求导运算这种作用施于 上不起作用，犹如数的加法中，数0是其不变量。数的乘法中数1是其不变量，这里函数求导运算中函数 是其不变量。正因为此，无理数在微积分中的重要作用突出出来。而且以它为底的自然对数 也是导数公式最简单。 ，于是在微积分中大量用自然对数。

三、特殊的求导法则

1、对数求导法

1）函数 被称为幂指函数，在经济活动中会大量涉及此类函数，注意到它很特别。既不是指数函数 又不是幂函数 它的幂底和指数上都有自变量 ，所以不能用初等函数的微分法处理了。这里介绍一个专门解决此类函数的方法，对数求导法。

2）对于 两边取对数（当然取以 为底的自然对数计算更方便）。由对数的运算性质。

再对两边关于 求导，左端是复合函数，右端是乘积与复合

注意，此法的演算思路很简单，反而公式很复杂，没必要记公式而主要是记方法。

例子

3）幂指函数必须用对数求导法求导，而在有些能用微分法解决的函数类型运用对数求导法可以更简单。注意到对数变换的优点是能把三级运算（开方、乘方）转换为二级运算（除、乘），而把二级运算转换为一级运算（加、减），所以对一类仅有开方、乘方和乘、除结构的函数，运用对数求导法可简化运算。

例子

2、隐函数求导法则

系统理论将在多元函数中讨论，这里仅是作为复合函数求导法则的应用，在计算上的一

种方法的介绍。

1） 函数的解析表达

函数的解析表达有三种形式：

1、显式表达
2、隐式表达
3、参数表达
平时对函数泛泛地讨论中， 仅是一个抽象的说明，若作为一个具体函数的解析式，将函数变量放在等式一端，另一端只有关于x的结构式，这被称为“显式表达”，是最简单的一种，其判断条件也最多，所以能表达的范围也最窄。可见这之前我们仍停留在最简单对象的程度。

函数的隐式表达为 ，即x和y的关系通过一个方程的形式实现，是否是函数由函数定义去判断。当然可能y不是x的函数，但可能x是y的函数，（隐式函数存在性在多元函数时讨论）可见它要一般的多。实际上显示表达是隐式表达的特殊形式，特殊在 ，即 。就是说在方程 中y变量可反解出的时候。一般的未必能反解出来，比如。
函数的参数表达， 即x和y的关系由第三个参变量t体现，是否y为x的函数也是由定义判断。这种形式在实际问题中大量存在，也是运用较多。显式也是参数表达特殊情况，特殊为 即参数变量取为自变量x时。

注意，现在我们还很少接触隐式和参数式，但随着学习的进程，它们的出现会越来越多。

2） 隐函数的求导法则

若 中存在隐函数 ，这里仅是说y为一个x的函数并非说y一定被反解出来为显式表达。即 ，尽管y未反解出来，只要y关于x的隐函数存在且可导，我们利用复合函数求导法则则仍可以求出其反函数。一般理论公式在多元函数时给出，以下仅以实例说明。

例： 求
解：既然求 ，即y关于x的隐函数存在且可导

即
方程两边对x求导

将其恒等变形，重新组项，将 反解出来得

3、参数表达函数的求导法则

若参数表达 为一个y关于x的函数，即 ，由函数规律 的x，而这个x值的那个t要对应唯一的一个y值，才能y为x的函数。由此可见 必存在反函数 ，于是代入 ，这便是y通过中间变量t的关于x的函数的抽象表达，（实际中未必能写出t关于x的反函数式子，也没必要这样做）

利用反函数求导法则和复合函数求导法则，可得

这便是参数方程表达的y关于x的函数的求导公式。

2有些抽象自己问问同学吧

3 就是在坐标轴上以45度方向做一条直线若为－X直线过一三象限，若为X直线过二四象限

Answer 2

1楼的太乱了，一大堆无用的话，我给点实际的：
(1)指数函数的导数求法：(a^x)'=a^x * lna
特别的：(e^x)'=e^x
对数函数的导数求法：(logaX)'=1/(x * lna)
特别的：(lnx)'=1/x
幂函数的导数求法：(x^a)'=a * x^(a-1)
指数为无理数的二项式不能用，因为在二项式中系数项有排列数（即C多少取多少，排列组合，不知道你看不看得懂）

(2)高中只要求一阶导数，高阶不要求的。分数阶导数是什么概念？不存在分数阶导数这个概念，不然分数这么多，研究不完的

(3)这个要用到积分学和г函数，你还没学积分吧（不是高中的定积分），这个就算了

(4)这个图像画出来也没有意义，而且如果x可以取任何实数，那就很复杂了（就是第三题）

(5)牛顿恒等式就是牛顿二项式展开公式，一元三次方程能用微积分求？没听说过。一元三次方程解法在下面的网址，很具体，你自己看吧。

希望能帮到你~