Question

高数 证明二元函数f(x,y)=(xy)/(x平方+y平方）当（x,y)倾向（0，0）时极限不存在

证明二元函数f(x,y)=(xy)/(x平方+y平方）当（x,y)倾向（0，0）时极限不存在

看了答案但是很不明白，忘解释清楚点

我没有分了

不过从心感谢

Answer 1

如果上述二元函数在（x，y）趋近（0，0）时的极限存在则要求以任何路径趋近都要极限存在。显然我们只要找到存在一条路劲使得该函数的极限不存在即可。观察函数发现上下均为二次，我们只要凑出1/∞即可，取路径y=x²则可得证。具体过程就不详述了。

Answer 2

直接令y=kx即可，因为极限值随k值改变，所以不存在。

Answer 3

令y=x, lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0
令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
= lim(x趋于0) x^3-x^2/ x^2 =-1
两种情况极限值不同，故原极限不存在