Question

初三原创上简单数学题，高手帮个忙，后天去学校啦！

要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：RT三角形ABC，使角C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC=根号3，角ABC=30°，所以tan30°=AB/BC=1/根号3=根号3/3，在此图的基础上，通过增加适当的辅助线，可求出tan15°的值，请简要写出你增加的辅助线和求出tan15°的值！
(写出详细过程！！！！！！！！！详细啊！！！！！！！)

Answer 1

如图，作∠B的角平分线BD交AC于D ，作DE⊥AB交于E ，

∵ ∠DCB=∠DEB=90°,∠CBD=∠EBD，BD=BD ，

∴ △BCD≌△BED ，

∴ BE=BC=√3 ，

∴ AE=AB-BE=2-√3 ，

∵ ∠AED=90°，∠A=60°，

∴ ∠ADE=30°，

∴ AD=2AE=2(2-√3)=4-2√3 ,

∴ CD=AC-AD=1-(4-2√3)=2√3-3 ,

∴ tan∠DBC=CD/BC=(2√3-3)/√3=2-√3 ，

∴ tan15°=2-√3 ≈ 0.268 。

Answer 2

延长CB到D，使BD=AB，连接AD。

则∠D= 1/2×∠ABC = 15度

在Rt△ADC中，有DC = DB + BC = AB+BC，AC = 1

由此，可得tan15度 = AC/DC = AC/(AB+BC)＝1/(2+√3)=2-√3