Question

已知函数f（x）=xe^x与函数g（x）=1/2 x²+ax的图像在点（0,0）处具有相同的切线

已知函数f（x）=xe^x与函数g（x）=1/2 x²+ax的图像在点（0,0）处具有相同的切线。
（I）求a的值
（II）设（x）=f（x）-bg（x）（b∈R），求函数h（x）在[1,2]上的最小值

Answer 1

原题是:已知函数f(x)=xe^x与函数g(x)=(1/2)x²+ax的图像在点(0,0)处具有相同的切线。
(I)求a的值;(II)设h(x)=f(x)-bg(x)(b∈R)，求函数h(x)在[1,2]上的最小值.
(I)f'(x)=(x+1)e^x,f'(0)=1
f(x)在(0,0)处切线 y=x
g'(x)=x+a,g'(0)=a
g(x)在(0,0)处切线 y=ax
所以 a=1
(II)设h(x)在[1,2]上的最小值是m(b).
h(x)=xe^x-(b/2)x²-bx (b∈R)
h'(x)=(x+1)e^x-b(x+1)=(x+1)(e^x-b)
x∈[1,2]时
x+1≥2,e≤e^x≤e²
当b≤e时,h'(x)≥0,h(x)在[1,2]上单增
m(b)=h(1)=e-(3/2)b
当e<b<e²时
x∈[1,lnb)时,h'(x)<0,h(x)在[1,lnb)上单减
x∈(lnb,2]时,h'(x)>0,h(x)在(lnb,2]上单增
h'(lnb)=0
m(b)=f(lnb)=blnb-(b/2)ln²b-blnb=(-1/2)b)ln²b

当b≥e²时,h'(x)≤0,h(x)在[1,2]上单减
m(b)=f(2)=2e^2-4b
所以 h(x)的最小值
m(b)={e-(3/2)b,b≤e
------{(-1/2)b)ln²b,e<b<e²
------{2e^2-4b,b≥e²

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