Question

一道线性代数的初级问题!

第一题
|0 0 0 0 1|
|0 0 0 2 *|
|0 0 3 * *|
|0 4 * * *|
|5 * * * *|
第二题
|* * * * * 1|
|* * * * 2 0|
|* * * 3 0 0|
|* * 4 0 0 0|
|* 5 0 0 0 0|
|6 0 0 0 0 0|

第一题的答案是 5的阶乘 也就是1*2*3*4*5 第二题是-6的阶乘,问题就来了,我答案是书上看的,但是具体求证过程我不明白,那个*元素我知道是可以任意取值的,但是不知道所谓的任意取值是我给他取值还是不管他,我不知道这两题具体怎么算,我只会二阶阶乘,三阶阶乘,对于这种N阶阶乘就不明白了,拜托谁能给解释下!谢谢.

Answer 1

解：你直接看线性代数的那个降阶公式，比如对第一题来说，
|0 0 0 0 1|
|0 0 0 2 *|
|0 0 3 * *|
|0 4 * * *|
|5 * * * *|
它等于将第一行的第i个数拿出来×除去他所在行所在列剩下的4×4的行列式的值×（-1）^(i+j)
对于这个三角阵由于前四个都是0，所以等于
1×（-1）^(1+5)*|0 0 0 2 |
|0 0 3 * |
|0 4 * * |
|5 * * * |
=1*|0 0 0 2 |
|0 0 3 * |
|0 4 * * |
|5 * * * |
再对这个行列式的第一行展开得
=1*(-2)×|0 0 3 |
|0 4 * |
|5 * * |
再依次展开下去便可得结果为1×（-2）×3×（-4）×5=5！
对于第二题同样的解解发，不过是从最后一行开始展开
结果为（-6）×5×(-4)×3×（-2）×1=-6！

Answer 2

估计你还没学到行列式的展开

那么你至少要知道行列式的值的定义

就是那个包含逆序数的定义（这里不好打出来）

你看第一个题，它的第一行除了1之外都是0，所以0就不用考虑了，这样第一行只有1能对答案产生影响，既然第一行选了1，而1在第5列，所以第5列也不需要考虑了，这样第二行只有2有价值了，同理可得，最后的结果只与1、2、3、4、5有关，然后逆序数为偶数，这样最后的符号就为正，得5！

第二个题也是一样，用定义式确定唯一的排列方法加上逆序数的奇偶就ok

Answer 3

指两者内积为零。
-2*1-2*5+3a=0
a=4

Answer 4

显然啊 上三角型 下三角型 这是结论