求收敛域及和函数
1个回答
展开全部
先求收敛半径r=lim(n→∞) (n+1)/(n+2)=1
然后,
检验x=1,∑(n=0,∞) (n+1)明显发散
检验x=-1,∑(n=0,∞) (-1)^n*(n+1)明显发散
因此,收敛域为(-1,1)
令f(x)=∑(n=0,∞) (n+1)*x^n
在(-1,1)内,根据逐项积分：
∫(0,x) f(t) dt=∫(0,x) (∑(n=0,∞) (n+1)*t^n) dt=∑(n=0,∞) (∫(0,x) (n+1)*t^n) dt)
=∑(n=0,∞) (x^(n+1))
=x+x^2+……+x^n+……
=x/(1-x)
再根据逐项求导：
[∫(0,x) f(t) dt]'=[x/(1-x)]'
f(x)=(1-x+x)/(1-x)^2=1/(1-x)^2
因此,∑(n=0,∞) (n+1)*x^n=1/(1-x)^2,x∈(-1,1)
然后,
检验x=1,∑(n=0,∞) (n+1)明显发散
检验x=-1,∑(n=0,∞) (-1)^n*(n+1)明显发散
因此,收敛域为(-1,1)
令f(x)=∑(n=0,∞) (n+1)*x^n
在(-1,1)内,根据逐项积分：
∫(0,x) f(t) dt=∫(0,x) (∑(n=0,∞) (n+1)*t^n) dt=∑(n=0,∞) (∫(0,x) (n+1)*t^n) dt)
=∑(n=0,∞) (x^(n+1))
=x+x^2+……+x^n+……
=x/(1-x)
再根据逐项求导：
[∫(0,x) f(t) dt]'=[x/(1-x)]'
f(x)=(1-x+x)/(1-x)^2=1/(1-x)^2
因此,∑(n=0,∞) (n+1)*x^n=1/(1-x)^2,x∈(-1,1)
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
